Repaso de clases: semana uno.

Clase 1: 27/07/2020

Un $\textbf{espacio vectorial}$ es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones, la suma y el producto escalar; y que cumple los 10 axiomas a continuación, sean $v, w, u \in V$ y los escalares $\alpha$ y $\beta$ en los reales:

1. $u+v \in V$
2. $u+v=v+u$
3. $u+(v+w)=(u+v)+w$
4. Existe el vector nulo $0_{v} \in V$ tal que $v+ 0_{v} =v$
5. Para cada $v$ en $V$ existe un opuesto $(-v) \in$ V tal que $v + (-v) = 0_{v}$
6. $\alpha v \in V$
7. $\alpha (u+v) = \alpha u +\alpha v$
8. $(\alpha +\beta) v = \alpha v + \beta v$
9. $\alpha(\beta v)=(\alpha \beta) v$
10. $1v =v$

*** Tarea: Demostrar que R³ es un espacio vectorial y Teorema 2 ***

Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto de V, entonces U es un $\textbf{subespacio}$ vectorial si cumple las siguientes propiedades:
a) $0_{v} \in V$
b) $u, v \in V$ entonces $u+v \in V$
c) Sea $\lambda \in$ reales y $v \in V$ entonces $\lambda v \in V$

$\textbf{Producto punto}$ .
Sean los vectores $\vec{v}=(v_{1}, ..., v_{n})$ $\in R^{n}$ y $\vec{w}=(w_{1}, ..., w_{n})$ $\in R^{n}$ . Definimos el producto escalar como:
$\vec{v} \cdot \vec{w} = v_{1} \cdot w_{1} + ... + v_{n} \cdot w_{n} \in R$
Y cumple con las propiedades:
a) $\vec{v} \cdot \vec{0} = 0$
b) $\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{v}$
c) $\vec{u} \cdot (\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} +\vec{u} \cdot \vec{w}$
d) $(\alpha \vec{v}) \cdot \vec{w} = \alpha (\vec{v}) \cdot \vec{w})$

$\textbf{Norma}$
Define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría euclideana.
Considere el vector $\vec{v}=(v_{1}, ..., v_{n})$ $\in R^{n}$ . La norma de $\vec{v}$ se denota $\vert\vert\vec{v}\vert\vert$ , y se define de la siguiente manera.

$\vert\vert\vec{v}\vert\vert$ = $\sqrt{v \cdot v}$

La distancia de A a B se define como d(A, B) = $\vert\vert B-A\vert\vert$ . Así mismo se desfine la distancia entre vectores. Propiedades de la norma:
Sean los vectores $\vec{v}, \vec{w}, \in R^{n}$ y $\alpha \in R$ :
a) $\vert\vert\vec{v}\vert\vert \geq 0$ y $\vert\vert\vec{v}\vert\vert = 0$ si y sólo si $\vec{v} = 0$
b) $\vert\vert\alpha \vec{v} \vert\vert = \vert\alpha\vert \vert\vert\vec{v}\vert\vert$
c) $\vert\vert\vec{v} - \vec{w} \vert\vert = \vert\vert\vec{w} - \vec{v}\vert\vert$
d) $\vert\vert\vec{v} + \vec{w} \vert\vert \leq \vert\vert\vec{v}\vert\vert + \vert\vert\vec{w}\vert\vert$ Desigualdad del triángulo.
e) $\vert\vec{v} \cdot \vec{w}\vert \leq \vert\vert\vec{v}\vert\vert\vert\vert\vec{w}\vert\vert$ Desigualdad de Cauchy-Shwartz.
$\underline{NOTA}$ : Será importante al resolver límites la siguiente propiedad que se usa para la demostración de esta propiedad.

$\displaystyle \vert a\vert\vert b\vert=\vert a\cdot b\vert \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

(1)

Segun la $\textbf{ley de cosenos}$ : $\vec{v} \cdot \vec{w} = \vert\vert\vec{v}\vert\vert\vert\vert\vec{w}\vert\vert cos \theta$
$\underline{NOTA}$ : El proucto punto tiene un contenido geométrico con la norma y los ángulos. El ángulo cos está acotado por 1. Y además $\textbf{es válido para toda dimensión}$
Dos vectores son $\textbf{ortogonales}$ si y sólo si $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$
Dos vectores son $\textbf{paralelos}$ si el ángulo entre ellos es 0 o $\pi$ u= $\lambda$ v, con $\lambda \in R$ .
El $\textbf{producto vectorial}$ se define como:
$\vec{u} \times \vec{v} = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2} ) \vec{i} - (u_{1} v_{3} - u_{3} v_{1} ) \vec{j} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} ) \vec{k}$
El producto vectorial es un vector perpendicular a $\vec{v}$ y $\vec{w}$

*** Tarea: Teorema 4 y ejemplo 8 ***

Clase 2: 28/07/2020

Un conjunto es $\textbf{abierto}$ si $\forall x \in V$ , $\exists B_{r} (x) \subset V$ .
Es $\textbf{cerrado}$ si $\exists x \in V$ tal que $\forall B_{r} (x) \varsubsetneq V$ , $\forall B_{r} (x) \cap V^{c} \neq \varnothing$ . También un conjunto es cerrado si su complemento es abierto.
Un $\textbf{punto es interior}$ sii $\exists B_{r} (x) \subset V$ .
Un $\textbf{punto es de adherencia}$ si $\forall B_{r} (x) \cap A \neq \varnothing$
Propiedades. Para todo subconjunto A de $R^{n}$ :
a) $A^{\circ} \subset A$
b) $A \subset \overline{A}$
Sean A, B y V subconjuntos de $R^{n}$ , si $A \subset B$ entonces $A^{\circ} \subset B^{\circ}$ y $\overline{A} \subset \overline{B}$
Lema 1. Si $V \subset A$ y V es abierto $V \subset A$ y V es abierto $V \subset A^{\circ}$
Si $A \subset F$ y F es cerrado $\overline{A} \subset F$
Propiedades para todo subconjunto A de $R^{n}$ :
a) $A^{\circ}$ es abierto
b) $\overline{A}$ es cerrado
c) A es abierto si y sólo si $A=A^{\circ}$
d) A es cerrado si y sólo si $A=\overline{A}$
e) $A^{\circ} \cup B^{\circ} \subset (A\cup B)^{\circ}$
$\underline{NOTA}$ : Leyes de Morgan (A $\cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ y $(A\cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ .

Clase 3: 29/07/2020

Cualquier función $R^{n} x R^{n} \rightarrow R$ tal que para cualesquiera $x, y, z \in R^{n}$ , satisface las condiciones:
$d(x, y) \geq 0$ y $d(x, x)=0$
$d(x, y) =d(y, x)$
$d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$
$d(x, y) = 0$ implica que $x=y$
Se llama $\textbf{métrica o distancia}$ en $R^{n}$ .
Sea p un punto en $R^{n}$ . Definimos la $\textbf{bola abierta}$ con centro en p y radio $r>0$ como el conjunto:
$B_{r} (p) = \lbrace r \in R^{n} : d(x, p) <r \rbrace$ .
Y la $\textbf{bola cerrada}$ con centro en p y radio $r>0$ como el conjunto: $B_{r} (p) = \lbrace x \in R^{n} : d(x, p)\leq r \rbrace$
Proposición 1. Toda bola abierta $B_{r} (p)$ en $R^{n}$ es un conjunto abierto.
Proposición 2.
a) Si A y B son subconjuntos abiertos en $R^{n}$ entonces $A\cup B$ y $A \cap B$ lo son.
b) Si A y B son subconjuntos cerrados en $R^{n}$ , entonces $A\cup B$ y $A \cap B$ lo son.

*** Tarea: Proposición 2 ***

Clase 4: 30/07/2020

Proposición 4. Sean A un subconjunto de $R^{n}$ , entonces:
a) A es abierto si y sólo si $A=A^{\circ}$ .
b) A es cerrado si y sólo si $A=\overline{A}$ .
Proposición 5. Sean A y B subconjuntos de $R^{n}$ , entonces:
$A^{\circ} \cup B^{\circ} \subset (A\cup B)^{\circ}$
$A^{\circ} \cap B^{\circ} = (A \cap B)^{\circ}$
$\overline{A} \cup \overline{B }=\overline {A} \cup \overline{B}$
$\overline {A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$
Sea A un subconjunto de $R^{n}$ . Definimos la $\textbf{frontera}$ de A por el conjunto $\overline{A} \cap \overline{A ^{c}}$ , y la denotamos por Fr (A).