Tarea Cálculo 3: Límites

Equipo 19

Date: August 2020

Calcular el límite

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$\lim_{(x,y) \to (1,3)}\frac{x^{2}y}{4x^{2}-y}$ $\Rightarrow$ $\frac{1^{2}(3)}{4(1)^{2}-3}= \frac{1(3)}{4-3}=\frac{3}{1}=3$

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$\lim_{(x,y) \to (\pi,1)} \frac{cos (xy)}{y^{2}+1}$ $\Rightarrow$ $\frac{\cos[(\pi)(1)]}{1^{2}+1}= \frac{\cos (\pi)}{1+1}=\frac{-1}{2}= -\frac{1}{2}$

Demostrar que el límite no existe

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$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{3x^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{3(0)^{2}}{(0)^{2}+(0)^{2}}= \frac{0}{0}$ , llegamos a una indeterminación.
Hacemos $x=0$

$\Rightarrow$ $\lim_{(0,y) \to (0,0)}\frac{3(0)^{2}}{0^{2}+y^{2}}=0$
Haciendo $x=y$

$\Rightarrow$ $\lim_{(y,y) \to (y,0)}\frac{3y^{2}}{y^{2}+y^{2}}=\frac{3}{2}$ $\Rightarrow$ El limite no existe.

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$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y \sin x}{x^2+y^2}$

Camino 1: $x=x_0=0$

$\displaystyle \lim_{(0,y) \to (0,0)} \frac{y \sin 0}{0+y^2}= \lim_{y \to 0} 0 = 0$

Camino 2: $x=y$

$\displaystyle \lim_{(x,x) \to (0,0)} \frac{x \sin x}{x^2+x^2}= \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Entonces el límite no existe

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$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (1,2)} \frac{xy-2x-y+2}{x^2-2x+y^2-4y+5}$

$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (1,2)} \frac{xy-2x-y+2}{x^2-2x+y^2-4y+5} = \lim_{... ...x^2-2x+1+y^2-4y+4} = \lim_{(x,y) \to (1,2)} \frac{(x-1)(y-2)}{(x-1)^2+(y-2)^2}$