Semana 6

Clase 31 de Agosto de 2020

 

 

Clase 1 de Septiembre de 2020

Clase 2 de Septiembre de 2020

Clase 3 de septiembre de 2020

Teorema de la función explícita (notas del libro de Páez)

Caso lineal

Para  un sistema de la forma, donde m<n

(ecuación 1)

El caso en dos dimensiones se reduce  a Entonces las soluciones son de la forma

 

Para el caso de tres dimensiones se reduce a , que representa a un plano, y las soluciones son de la forma

. 

Cuando hay dos ecuaciones de la forma 

 

Tenemos los casos que una ecuación sea múltiplo de la otra, que sean planos paraelos, y que no sean pararalelos y las soluciones son la intersección de los planos. Para analizar el tercer caso, tenemos entonces que 

 

Con tres posibilidades  

Esto, observando las formas determinantes de lo anterior, nos permite reescribir el sistema de ecuaciones como

 

O en forma matricial

 

Haciendo y viendo que , Sabemos que M es invertible, y entonces

 

Y las soluciones estarían dadas por 

. 

Con esto tenemos base para resolver el problema general de la ecuación 1. Para el caso de n=m, tenemos una matriz de coeficientes, 

 

entonces el sistema queda reescrito como

 

y entonces

 

Con  tenemos

 

Entonces encontraremos que existen tales que para y que las soluciones de ecuación 1 son 

 

con. En el caso general se tendría que si los índices con son tales que la matriz

 

es invertible, entonces las incógnitas se pueden poner en función de las incógnitas . Es decir que existen tales que 

 

para , y que las soluciones a ecuación 1, están dadas por las n-adas formadas con los números reales , en donde es la cooordenada y es la coordenada para

Caso no lineal

Sin hacer toda la solución se comenta que el caso no lineal es por un sistema de ecuaciones donde son generalmente no lineales, y dado por