Proposición 5

 

Proposición 5.

Sea A y B subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}^{n}$, entonces:

b) $A^{\mathrm{o}} \cap B^{\mathrm{o}} = (A \cap B)^{\mathrm{o}}$

    1.- $A^{\mathrm{o}} \cap B^{\mathrm{o}} \subseteq (A \cap B)^{\mathrm{o}} $

\begin{equation*} % latex2html id marker 268 \begin{aligned} x \in (A^{\mathrm{o... ...ap B^{\mathrm{o}} \subseteq (A \cap B)^{\mathrm{o}} \end{aligned}\end{equation*}

    2.- $(A \cap B)^{\mathrm{o}} \subseteq A^{\mathrm{o}} \cap B^{\mathrm{o}} $

\begin{equation*} % latex2html id marker 272 \begin{aligned} x \in (A \cap B)^{\... ...rm{o}} \subseteq A^{\mathrm{o}} \cap B^{\mathrm{o}} \end{aligned}\end{equation*}

% latex2html id marker 274 $ \therefore A^{\mathrm{o}} \cap B^{\mathrm{o}} = (A \cap B)^{\mathrm{o}}$

c) $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cup B}$

    1.- $\overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}$

\begin{equation*} % latex2html id marker 280 \begin{aligned} x \in (\overline{A}... ...{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B} \end{aligned}\end{equation*}

    2.- $\overline{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B} $

\begin{equation*} % latex2html id marker 284 \begin{aligned} x \in (\overline{A ... ...{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B} \end{aligned}\end{equation*}

% latex2html id marker 286 $ \therefore \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cup B}$

$\overline{A \cap B}\subset \overline{A} \cap \overline{B}$

d) Por la proposición 3 inciso b) sabemos que

$A\subset\overline{A}$ y $B\subset\overline{B}$ por lo que $A\cap B\subset\overline{A} \cap \overline{B}$ y dado que $\overline{A} \cap \overline{B}$ es cerrado $\Rightarrow$ $\overline{A \cap B}\subset \overline{A} \cap \overline{B}$. Si consideramos $A=(0,1)$ y $B=(1,2)$ $\Rightarrow$ $\overline{A \cap B}=\emptyset$ pero $\overline{A}=[0,1]$ y $\overline{B}=[1,2]$ $\Rightarrow$ $\overline{A} \cap \overline{B}={1}$.


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