Primera clase multinavegador (esta es una prueba para ver si esto sí funciona con Chrome)

Teorema 4

Demostrar que con dos vectores distintos de cero, se cumple que ⋅ = 0 si y sólo si son ortogonales

⇒ Si ⋅ = 0, entonces ⋅ = ∥∥∥∥cosθ = 0, como los vectores son distintos de cero ∥∥∥∥≠0,
entonces cosθ = 0, y θ = π∕2 + nπ, n ∈ ℤ (incluye ángulos negativos), que corresponde a los ángulos que indican la ortogonalidad de los vectores.

⇐ Si son ortogonales el ángulo comprendido entre los vectores es θ = π∕2 + nπ, n ∈ ℤ, entonces
⋅ = ∥∥∥∥cos(π∕2 + nπ) = 0

Ejemplo 8

i) Sean = (1,0,) y = (-2,1,), entonces y son ortogonales pues ⋅ = -2 + 0 + 2 = 0.

ii) Sean = (1,0,) y = (-2,1,1) entonces el ángulo entre y es

Entonces es necesario calcular ⋅ = -2 + 0 + , y ∥w∥ = 1 + 2 = 3, así como ∥v∥ = 4 + 1 + 1 = 6, entonces

iii) Sean = (1,-1,0) y = (1,1,0). Consideremos el problema de encontrar un vector ∈ ℝ³ que cumpla con las tres condiciones siguientes

Para resolver el problema, supongamos que = (x,y,z), entonces tenemos que

En consecuencia

x = 2cos ,

y = 2cos , y

Por lo que

Propiedades del producto vectorial

1.- ⋅ ( ×) = 0. Como el vector × es perpendicular a , entonces el producto ⋅ ( ×) es cero.

2.- ⋅ (×) = 0. Como el vector × es perpendicular a , entonces el producto ⋅ ( ×) es cero.

3.- ∥ ×∥² = ∥∥²∥∥² - ( ⋅)². Desarrollamos el lado derecho

7.- α = (α) × = × (α)

Desarrollamos el lado izquierdo

(3)

9.- × = 0.

× = ∥∥∥∥sin0 = 0, pues es el vector es paralelo consigo mismo.