Cálculo 3 - UNAM

Proposición 2. Tercera clase I.1.   b) Si A y B son subconjuntos cerrados en ℝ n , entonces A ∪ B y A ∩ B tambi é n lo son. Como A y B son cerrados esto implica que A c y B c son abiertos. Si utilizamos las leyes de De Morgan ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c y considerando que la intersección de dos conjuntos abierto es un conjunto abierto ⇒ ( A ∪ B ) c es abierto ∴ A ∪ B es cerrado. Por otro lado, dado que ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c y sabemos que la unión de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto   ⇒ ( A ∪ B ) c es abierto ∴ A ∩ B es cerrado.

Aquí les comparto la manera en la que escribo en LaTeX en Blogger Para que se lea el video la resolución debe ser 1080p.

Demuestra que R 3 es un espacio vectorial. Prueba: Será necesario verificar los 10 axiomas del EV. Consideramos tres elementos u=(a, b, c), v = (d, e, f), w=(g,h,i) ∈ R 3 ; y los escalares α y β ∈ R 1. u+v=(a, b, c)+(d, e, f)=(a+d,b+e,c+f) ∈ R 3 2. u+v=(a, b, c)+(d, e, f)=(a+d,b+e,c+f)=(d+a,e+b,f+c)=(d, e, f)+(a, b, c) 3. u+(v+w)=(a, b, c)+((d, e, f)+(g,h,i))=(a, b, c)+(d+g,e+h,f+i)=(a+d+g, b+e+f, c+f+i)=(a+d, b+e, c+f)+(g,h,i)=(u+v)+w 4. Sea 0 del espacio, entonces u+0=(a,b,c)+(0,0,0)=(a+0,b+0,c+0)=(a,b,c) 5. Sea el inverso aditivo -u, entonces u+(-u)=(a,b,c)+(-a,-b,-c)=(a-a, b-b, c-c)=(0,0,0) que es el 0 del espacio. 6. α u= α (a,b,c)=( α a, α b, α c) ∈ R 3 7. α (u+v)= α ((a, b, c)+(d, e, f))= α (a+d,b+e,c+f)=( α (a+d), α (b+e), α (c+f)) 8. ( α + β )u=( α + β...

Teorema 4 Demostrar que con dos vectores distintos de cero, se cumple que ⋅ = 0 si y sólo si son ortogonales ⇒ Si ⋅ = 0, entonces ⋅ = ∥ ∥∥ ∥ cos θ = 0, como los vectores son distintos de cero ∥ ∥∥ ∥ ≠ 0, entonces cos θ = 0, y θ = π∕ 2 + nπ , n ∈ ℤ (incluye ángulos negativos), que corresponde a los ángulos que indican la ortogonalidad de los vectores. ⇐ Si son ortogonales el ángulo comprendido entre los vectores es θ = π∕ 2 + nπ , n ∈ ℤ , entonces ⋅ = ∥ ∥∥ ∥ cos( π∕ 2 + nπ ) = 0 Ejemplo 8 i) Sean = (1 , 0 , ) y = ( - 2 , 1 , ), entonces y son ortogonales pues ⋅ = - 2 + 0 + 2 = 0. ii) Sean = (1 , 0 , ) y = ( - 2 , 1 , 1) entonces el ángulo entre y es Entonces es necesario calcular ...