Demostración Teorema 2 y que R^{3} es EV

1. Demuestra que R³ es un espacio vectorial.
   Prueba: Será necesario verificar los 10 axiomas del EV. Consideramos tres elementos u=(a, b, c), v = (d, e, f), w=(g,h,i) ∈ R³ ; y los escalares α y β ∈ R
   1. u+v=(a, b, c)+(d, e, f)=(a+d,b+e,c+f) ∈ R³
   2. u+v=(a, b, c)+(d, e, f)=(a+d,b+e,c+f)=(d+a,e+b,f+c)=(d, e, f)+(a, b, c)
   3. u+(v+w)=(a, b, c)+((d, e, f)+(g,h,i))=(a, b, c)+(d+g,e+h,f+i)=(a+d+g, b+e+f, c+f+i)=(a+d, b+e, c+f)+(g,h,i)=(u+v)+w
   4. Sea 0 del espacio, entonces u+0=(a,b,c)+(0,0,0)=(a+0,b+0,c+0)=(a,b,c)
   5. Sea el inverso aditivo -u, entonces u+(-u)=(a,b,c)+(-a,-b,-c)=(a-a, b-b, c-c)=(0,0,0) que es el 0 del espacio.
   6. αu=α(a,b,c)=(αa,αb,αc) ∈ R³
   7. α(u+v)= α((a, b, c)+(d, e, f))=α(a+d,b+e,c+f)=(α(a+d),α(b+e),α(c+f))
   8. (α + β)u=(α + β)(a, b, c)=(α + βa, α + βb, α + βc)
   9. α(βv)=α( β (a, b, c))=α(βa, βb, βc)=(α βa, α βb, α βc) = (α β (a, b, c))=α β(a, b, c)=α β u
   10. 1 u = 1 (a, b, c)= (1a,1b,1c)=(a,b,c)=u
   
   
2. Demuestra el Teorema 2. Considerando los vectores v, w, u ∈ Rⁿ y α ∈ R entonces:
   a. ⋅=0
   ⋅= ∑ = v₁0 + v₂0 + ... + v_n0 ∈ R
   = 0(v₁ + ... + v_n) = 0
   b. ⋅=∑ =v₁w₁ + v₂w₂ + ... + v_nw_n ∈ R
   =w₁v₁ + ... + w_n + v_n=∑ = ⋅.
   c. ⋅ ( + )=∑ ⋅ ( + )=∑ u(v₁ + w₁,...,v_n + w_n)
   u₁(v₁ + w₁) + ... + u_n(n_n + w₂) = u₁v₁ + u₁w₁ + ... + u_nv_n + u_nw_n = (u₁v₁ + ... + u_nv_n) + (u₁w₁ + ... + u_nw_n) = ∑ + ∑ = ⋅ + ⋅