Tareas de la primera clase

Teorema 4

Demostrar que con dos vectores distintos de cero, se cumple que $\vec{w}\cdot\vec{v}=0$ si y sólo si son ortogonales

$\Rightarrow$ Si $\vec{w}\cdot\vec{v}=0$, entonces $\vec{w}\cdot\vec{v}=\|\vec{w}\|\|\vec{v}\|\cos{\theta}=0$, como los vectores son distintos de cero $\|\vec{w}\|\|\vec{v}\|\neq 0$, entonces $\cos{\theta}=0$, y $\theta=\pi/2\pm n\pi$, $n\in\mathbb{Z}$ (incluye ángulos negativos), que corresponde a los ángulos que indican la ortogonalidad de los vectores.

$\Leftarrow$ Si son ortogonales el ángulo comprendido entre los vectores es $\theta=\pi/2\pm n\pi$, $n\in\mathbb{Z}$, entonces $\vec{w}\cdot\vec{v}=\|\vec{w}\|\|\vec{v}\|\cos{(\pi/2\pm n\pi)}=0$

Ejemplo 8

i) Sean $\vec{w}=(1,0,\sqrt{2})$ y $\vec{v}=(-2,1,\sqrt{2})$, entonces $\vec{w}$ y $\vec{v}$ son ortogonales pues $\vec{w}\cdot\vec{v}=-2+0+2=0$.

ii) Sean $\vec{w}=(1,0,\sqrt{2})$ y $\vec{v}=(-2,1,1)$ entonces el ángulo entre $\vec{w}$ y $\vec{v}$ es

$$\theta=\arccos{\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|}\right)}$$

Entonces es necesario calcular $\vec{v}\cdot\vec{w}=-2+0+\sqrt{2}$, y $\|w\|=1+2=3$, así como $\|v\|=4+1+1=6$, entonces

$$\theta=\arccos{\left(\frac{-2+\sqrt{2}}{6\cdot 3}\right)}=\arccos{(-1/9+\sqrt{2}/18)}\approx 1.6033457$$

iii) Sean $\vec{v}=(1,-1,0)$ y $\vec{w}=(1,1,0)$. Consideremos el problema de encontrar un vector $\vec{u}\in\mathbb{R}^{3}$ que cumpla con las tres condiciones siguientes

$$\vec{u}\perp\vec{v},\;\;\|\vec{u}\|=4,\;\;\angle\vec{u},\vec{w}=\frac{\pi}{3}$$

Para resolver el problema, supongamos que $\vec{u}=(x,y,z)$, entonces tenemos que

$$\par\begin{cases}\vec{u}\cdot\vec{v}&=0\\ \|\vec{u}\|&=4\\ \vec{u}\cdot\vec{w}&=\|\vec{u}\|\|\vec{w}\|\cos{\frac{\pi}{3}}\end{cases}\Longrightarrow\par\begin{cases}x-y&=0\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}&=16\\ x+y&=4\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}}\end{cases}\Longrightarrow\par\begin{cases}x&=y\\ 2x^{2}+z^{2}&=16\\ x&=2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}}\end{cases}$$

En consecuencia $\boxed{x=2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}}}$, $\boxed{y=2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}}}$, y

$$\begin{split}\displaystyle 2x^{2}+z^{2}&\displaystyle=16\\ \displaystyle 2(2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}})^{2}+z^{2}&\displaystyle=16\\ \displaystyle 2(4\cdot 2)\cos^{2}{\frac{\pi}{3}}+z^{2}&\displaystyle=16\\ \displaystyle z^{2}=16(1-\cos^{2}{\frac{\pi}{3}})=16\sin^{2}{\frac{\pi}{3}}\\ \displaystyle\boxed{z=\pm 4\sin{\frac{\pi}{3}}}\end{split}$$

Por lo que

$$\vec{u}=\left(2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}},2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}},\pm 4\sin{\frac{\pi}{3}}\right)$$

Propiedades del producto vectorial

1.- $\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0$. Como el vector $\vec{u}\times\vec{v}$ es perpendicular a $\vec{u}$, entonces el producto $\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})$ es cero.

2.- $\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0$. Como el vector $\vec{u}\times\vec{v}$ es perpendicular a $\vec{v}$, entonces el producto $\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})$ es cero.

3.- $\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{u}\|^{2}-(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}$. Desarrollamos el lado derecho

$$\begin{split}\displaystyle\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{u}\|^{2}-(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}=&\displaystyle\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{u}\|^{2}-\left(\|\vec{u}\|\|\vec{u}\|\cos{\theta}\right)^{2}\\ \displaystyle=&\displaystyle\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{u}\|^{2}(1-\cos^{2}{\theta})\\ \displaystyle=&\displaystyle\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{u}\|^{2}\sin^{2}{\theta}\\ \displaystyle=&\displaystyle\left(\|\vec{u}\|\|\vec{u}\|\sin{\theta}\right)^{2}\\ \displaystyle=&\displaystyle\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2}\end{split}$$

7.- $\alpha\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)=(\alpha\vec{u})\times\vec{v}=\vec{u}\times(\alpha\vec{v})$

Desarrollamos el lado izquierdo

$$\begin{split}\displaystyle\alpha\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)&\displaystyle=\alpha\ \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin{\theta}\\ &\displaystyle=\|\alpha\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin{\theta}=\|\vec{u}\|\|\alpha\vec{v}\|\sin{\theta}\\ &\displaystyle=\boxed{(\alpha\vec{u})\times\vec{v}}=\boxed{\vec{u}\times(\alpha\vec{v})}\end{split}$$

9.- $\vec{u}\times\vec{u}=0$.

$\vec{u}\times\vec{u}=\|\vec{u}\|\|\vec{u}\|\sin{0}=0$, pues es el vector $\vec{u}$ es paralelo consigo mismo.

Ejemplo 8

i) Sean $\vec{w}=(1,0,\sqrt{2})$ y $\vec{v}=(-2,1,\sqrt{2})$, entonces $\vec{w}$ y $\vec{v}$ son ortogonales pues $\vec{w}\cdot\vec{v}=-2+0+2=0$.

ii) Sean $\vec{w}=(1,0,\sqrt{2})$ y $\vec{v}=(-2,1,1)$ entonces el ángulo entre $\vec{w}$ y $\vec{v}$ es

$$\theta=\arccos{\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|}\right)}$$

Entonces es necesario calcular $\vec{v}\cdot\vec{w}=-2+0+\sqrt{2}$, y $\|w\|=1+2=3$, así como $\|v\|=4+1+1=6$, entonces

$$\theta=\arccos{\left(\frac{-2+\sqrt{2}}{6\cdot 3}\right)}=\arccos{(-1/9+\sqrt{2}/18)}\approx 1.6033457$$

iii) Sean $\vec{v}=(1,-1,0)$ y $\vec{w}=(1,1,0)$. Consideremos el problema de encontrar un vector $\vec{u}\in\mathbb{R}^{3}$ que cumpla con las tres condiciones siguientes

$$\vec{u}\perp\vec{v},\;\;\|\vec{u}\|=4,\;\;\angle\vec{u},\vec{w}=\frac{\pi}{3}$$

Para resolver el problema, supongamos que $\vec{u}=(x,y,z)$, entonces tenemos que

$$\par\begin{cases}\vec{u}\cdot\vec{v}&=0\\ \|\vec{u}\|&=4\\ \vec{u}\cdot\vec{w}&=\|\vec{u}\|\|\vec{w}\|\cos{\frac{\pi}{3}}\end{cases}\Longrightarrow\par\begin{cases}x-y&=0\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}&=16\\ x+y&=4\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}}\end{cases}\Longrightarrow\par\begin{cases}x&=y\\ 2x^{2}+z^{2}&=16\\ x&=2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}}\end{cases}$$

En consecuencia $\boxed{x=2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}}}$, $\boxed{y=2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}}}$, y

$$\begin{split}\displaystyle 2x^{2}+z^{2}&\displaystyle=16\\ \displaystyle 2(2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}})^{2}+z^{2}&\displaystyle=16\\ \displaystyle 2(4\cdot 2)\cos^{2}{\frac{\pi}{3}}+z^{2}&\displaystyle=16\\ \displaystyle z^{2}=16(1-\cos^{2}{\frac{\pi}{3}})=16\sin^{2}{\frac{\pi}{3}}\\ \displaystyle\boxed{z=\pm 4\sin{\frac{\pi}{3}}}\end{split}$$

Por lo que

$$\vec{u}=\left(2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}},2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{3}},\pm 4\sin{\frac{\pi}{3}}\right)$$